혼합물 실험설계(Mixture DOE)

성분 비율의 합이 1(100%)이 되어야 한다는 제약이 있는 실험설계입니다. 도료 배합, 식품 레시피, 의약품 부형제 비율, 고분자 블렌드, 시멘트·콘크리트 배합 등 성분 간 상대적 비율이 반응값을 결정하는 경우에 사용합니다. 일반 요인배치설계는 이 제약을 만족하지 못해 혼합물 설계가 필요합니다.

{3,m} 심플렉스-격자 설계에서 각 성분은 {0, 1/m, 2/m, ..., 1} 중 하나의 값을 가집니다. {3,2} 설계(2차)는 6점, {3,3} 설계(3차)는 10점으로 구성됩니다. 모든 점이 삼각형(simplex) 꼭짓점·모서리·내부에 규칙적으로 분포하며 Scheffe 다항 모델을 추정하는 데 최소 필요 점 수를 제공합니다.

2차 Scheffe 모델: Y = b1·x1 + b2·x2 + b3·x3 + b12·x1·x2 + b13·x1·x3 + b23·x2·x3입니다. 일반 다항식과 달리 절편 b0 항이 없습니다. 이는 x1+x2+x3=1 제약 때문에 자유도가 줄어들어 b0를 분리할 수 없기 때문입니다. 교호작용 계수 b12가 양수이면 두 성분 혼합 시 시너지 효과를 의미합니다.

삼각형의 각 꼭짓점은 해당 성분 100%를 나타냅니다. 꼭짓점에서 반대편 변으로 갈수록 해당 성분 비율이 0%에 가까워집니다. 삼각형 내부의 임의의 점은 세 성분의 배합비를 나타내며, 색상이 붉을수록 반응값이 높은 배합 영역입니다. 황색 원은 최적 배합 위치입니다.

실제 배합에서는 특정 성분이 0%이거나 100%가 되는 경우가 불가능한 경우가 많습니다. 예: 에폭시 수지는 최소 30% 이상 포함해야 접착력 확보. 하한을 설정하면 탐색 가능 공간이 삼각형 내 부분 영역으로 제한되며, 최적화도 해당 제약 내에서 수행됩니다. 제약이 있으면 중심합성설계 대신 D-최적 설계를 고려할 수 있습니다.

두 성분을 혼합했을 때 각 성분의 단독 효과를 더한 값보다 반응값이 작아지는 길항(antagonistic) 효과입니다. 예: 두 용제를 섞으면 점도가 예상보다 낮아지는 경우. 반대로 양수이면 시너지 효과로 반응값이 선형 보간치보다 높아집니다.

모델이 예측한 최적 배합비로 3~5회 반복 확인 실험을 수행해 예측값과 실측값의 차이가 허용 범위 내에 있는지 확인합니다. 예측 구간(prediction interval)을 함께 계산해 확인 실험 결과가 구간 내에 포함되면 모델이 유효합니다. 이후 배합 비율을 표준화해 생산 SOP에 반영합니다.

4성분 이상은 초입방(simplex) 차원이 높아져 본 도구의 2D 삼각형 시각화가 적용되지 않습니다. 이 경우 JMP, Minitab, Design-Expert 같은 전문 소프트웨어를 사용하거나, D-최적 혼합물 설계로 필요 실험 수를 줄이는 방법을 선택합니다. RSM과 혼합물 설계를 결합한 공정-배합 동시 최적화(RSM 도구 참조)도 고려하세요.