대기행렬(M/M/1 · M/M/c) 계산기
도착률 λ·서비스율 μ·서버 수 c를 넣으면 이용률, 대기 확률(Erlang-C), 평균 대기 건수와 대기시간을 계산하고, 입력한 목표 대기시간을 지키는 최소 서버 수와 서버 비용 + 체류 비용이 가장 작은 서버 수를 찾아 줍니다. 평균 재공과 리드타임의 관계는 Little의 법칙 계산기, 어느 공정이 막히는지는 병목 분석에서 보세요.
계산 근거
M/M/c 대기행렬(Erlang-C): a = λ/μ, ρ = a/c, P0 = [Σ(k=0..c−1) aᵏ/k! + aᶜ/(c!(1−ρ))]⁻¹, Pw = aᶜ/(c!(1−ρ)) × P0, Lq = Pw·ρ/(1−ρ), Wq = Lq/λ, W = Wq + 1/μ, L = λW(Little의 법칙). c = 1 이면 M/M/1 과 같습니다. 비용 = c × 서버 비용 + L × 체류 비용. 이용률 70%·85% 구분과 목표 2배 초과 판정은 이 도구의 기준(경험칙)입니다.
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자주 묻는 질문 (FAQ)
대기행렬 이론(Queueing Theory)과 M/M/1·M/M/c 표기는 무엇인가요?
도착과 서비스가 확률적으로 일어나는 시스템의 대기·혼잡을 수학적으로 분석하는 이론입니다. Kendall 표기 M/M/c에서 첫 M은 도착이 포아송(무기억), 둘째 M은 서비스시간이 지수분포, c는 병렬 서버 수를 뜻합니다. M/M/1은 창구 1개, M/M/c는 동일 창구 c개가 하나의 대기열을 공유하는 모델입니다. 검사공정·출하도크·수리반·콜센터 등에 그대로 적용됩니다.
M/M/1 핵심 공식은 무엇인가요?
ρ = λ/μ (이용률), L = ρ/(1−ρ) (시스템 내 평균 건수), Lq = ρ²/(1−ρ) (평균 대기 건수), W = 1/(μ−λ) (평균 체류시간), Wq = λ/(μ(μ−λ)) (평균 대기시간)입니다. 예: λ=8건/시간, μ=10건/시간이면 ρ=0.8, W=0.5시간(30분) — 서비스 자체는 6분인데 24분을 기다리는 셈입니다.Erlang-C 공식(Pw)은 무엇을 알려주나요?
도착한 고객(작업물)이 모든 서버가 바빠서 즉시 서비스받지 못하고 대기할 확률입니다.
Pw = [a^c / (c!(1−ρ))] × P0 (a = λ/μ). 본 도구는 팩토리얼 오버플로 없이 점화식으로 자체 계산하며, Pw로부터 Lq = Pw·ρ/(1−ρ), Wq = Lq/λ가 도출됩니다. 콜센터 상담원 산정의 표준 공식이기도 합니다.ρ ≥ 1이면 왜 "불안정"인가요?
이용률 ρ = λ/(cμ) ≥ 1은 들어오는 속도가 총 처리능력 이상이라는 뜻입니다. 이때 대기열은 시간이 갈수록 무한히 쌓여 정상 상태(steady state)가 존재하지 않으므로 L·W 공식 자체가 성립하지 않습니다. 본 도구는 이 경우 경고와 함께 안정화에 필요한 최소 서버 수를 제시합니다. 실제 공정에서는 병목 앞 재공 폭증으로 나타나며, 병목 분석 도구로 어느 공정이 ρ≥1에 가까운지 먼저 찾는 것이 순서입니다.
이용률을 너무 높게 잡으면 안 되는 이유는 무엇인가요?
대기시간이 이용률에 비례해 늘지 않고
1/(1−ρ)에 비례해 폭증하기 때문입니다. ρ 50%→80%는 대기가 약 4배, 80%→95%는 다시 4배 이상 늘어납니다. 설비 가동률 100%를 목표로 잡으면 리드타임과 재공이 기하급수로 늘어나는 이유가 바로 이 곡선입니다. 변동성이 큰 공정일수록 여유 능력(capacity buffer)을 더 두어야 합니다. 이 도구는 70% 미만을 여유, 70~85%를 주의, 85% 초과를 높음으로 나눠 보여 주며, 이 구분은 업계 공통 기준이 아니라 이 도구의 경험칙입니다.Little's Law와는 어떤 관계인가요?
대기행렬의 모든 결과는
L = λW, Lq = λWq라는 Little's Law를 만족합니다. 즉 평균 재공 = 도착률 × 평균 체류시간. 본 도구의 L·W 산출값을 Little's Law 계산기에 넣어 교차 검증할 수 있고, 반대로 현장에서 측정한 WIP·리드타임으로 모델의 타당성을 확인할 수도 있습니다.빠른 서버 1대와 느린 서버 여러 대 중 무엇이 유리한가요?
총 처리능력이 같다면 평균 체류시간(W)은 대체로 빠른 서버 1대가 짧고, 대기시간 안정성(서버 고장 리스크 분산)은 여러 대가 유리합니다. 또 대기열 구조도 중요합니다 — 서버별 개별 줄보다 공용 대기열 1개(풀링)가 항상 평균 대기를 줄입니다. 본 도구에서 c와 μ를 바꿔가며 두 대안의 Wq를 직접 비교해보세요.
실무에서는 어떤 순서로 활용하나요?
① 대상 공정의 도착률 λ(투입 간격 기록)와 서비스율 μ(처리시간 관측)를 측정 → ② 본 도구로 현재 ρ·Wq 확인 → ③ 목표 대기시간을 넣어 이를 지키는 최소 서버 수와, 비용을 넣어 비용이 가장 작은 서버 수를 확인 → ④ 인력·설비 증설이 필요하면 Capacity Planning으로 기간별 소요를 계획하고, 자동화 대안은 자동화 ROI로 투자성을 검증합니다.
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