컨티스 툴킷

다변량 관리도(Hotelling T²) 계산기 (Multivariate Control Chart)

상관이 있는 여러 품질 특성을 엑셀에서 붙여넣으면 T² 통계량과 F·베타 분포 관리한계를 계산해 한 장의 관리도로 그리고, 관리한계를 넘은 점마다 어느 변수가 끌어올렸는지 기여도를 보여 줍니다. 개별값·부분군, 기준 기간(Phase I)·감시 기간(Phase II)을 모두 다룹니다.

계산 근거

NIST/SEMATECH e-Handbook 6.5.4.3. 개별값 T² = (x − x̄)ᵀS⁻¹(x − x̄), Phase I UCL = ((m − 1)²/m)·B₁₋α(p/2, (m − p − 1)/2) (Tracy·Young·Mason, 1992), Phase II UCL = p(m + 1)(m − 1)/(m² − mp)·F₁₋α(p, m − p). 부분군 T² = n(x̄ⱼ − x̿)ᵀSₚ⁻¹(x̄ⱼ − x̿), Phase I UCL = p(k − 1)(n − 1)/(kn − k − p + 1)·F₁₋α(p, kn − k − p + 1), Phase II UCL = p(k + 1)(n − 1)/(kn − k − p + 1)·F₁₋α(p, kn − k − p + 1). 베타 분위수는 F 분위수로 바꿔 구합니다. 다변량 정규분포와 점끼리 독립을 가정합니다.

기준일
NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods 6.5.4.3.1~6.5.4.3.4 (2026-10-23 열람)
검증
numpy·scipy 로 T²·베타·F 분위수를 따로 계산해 대조 (예시 2변수 25점: UCL 9.582, 18번 T² 10.410 · 부분군 3×15: UCL 18.035, 13번 T² 31.200), 2변수 닫힌식으로 손 검산
최종 검토
2026-10-23 · CONTIS 툴킷 편집팀
함께 쓰는 양식

자주 묻는 질문 (FAQ)

Hotelling T² 관리도는 언제 쓰나요?
두께와 무게, 외경과 내경처럼 서로 함께 움직이는 품질 특성을 동시에 관리할 때 씁니다. 특성마다 따로 관리도를 그리면 오경보가 겹쳐 늘어나고, 각 값은 범위 안인데 두 값의 관계가 깨진 이상(예: 두꺼운데 가벼운 제품)은 놓칩니다. T² 는 상관을 반영해 한 장의 관리도로 봅니다.
T² 는 어떻게 계산하나요?
개별값이면 T² = (x − x̄)ᵀ S⁻¹ (x − x̄), 부분군이면 T² = n (x̄ⱼ − x̿)ᵀ Sₚ⁻¹ (x̄ⱼ − x̿) 입니다. S 는 공분산 행렬로, 변수끼리의 상관을 반영한 거리(마할라노비스 거리의 제곱)입니다. 변수가 2개면 T² = (z₁² + z₂² − 2ρz₁z₂) / (1 − ρ²) 로 손으로도 확인할 수 있습니다.
관리한계(UCL)는 어떻게 정하나요?
NIST/SEMATECH e-Handbook 6.5.4.3 의 공식을 씁니다. 개별값 기준 기간(Phase I)은 ((m − 1)²/m) × B(p/2, (m − p − 1)/2) 베타 분위수, 감시 기간(Phase II)은 p(m + 1)(m − 1)/(m² − mp) × F(p, m − p) 입니다. 부분군은 F 분포 공식을 씁니다. 이 도구는 상한만 쓰고 오경보율 α 를 상한 한쪽에 둡니다(NIST 는 양측 α/2 표기).
Phase I 과 Phase II 는 무엇이 다른가요?
Phase I 은 과거 데이터로 "공정이 안정했던 기준"을 세우는 단계입니다. 관리한계를 넘은 점은 원인을 찾고, 원인이 확인된 점만 빼고 다시 계산합니다. Phase II 는 그 기준으로 앞으로 들어오는 데이터를 감시하는 단계이고, 한계가 조금 더 넓습니다. 이 도구에서 기준 기간 수를 넣으면 그 뒤의 점은 Phase II 한계로 판단합니다.
어느 변수가 원인인지 어떻게 아나요?
T² 는 하나의 숫자라 원인을 바로 알려 주지 않습니다. 이 도구는 변수 j 를 빼고 다시 계산한 T² 가 얼마나 줄었는지(dⱼ = T² − T²₍₋ⱼ₎)를 기여도로 보여 줍니다. 기여도가 큰데 그 변수 단독으로는 3σ 안이라면, 변수 사이 관계가 깨진 것입니다.
데이터는 몇 개 있어야 하나요?
개별값은 변수 수 + 2개 이상이어야 계산되지만, 평균·공분산 추정이 흔들리지 않으려면 20개 이상을 권합니다. 변수가 많을수록 더 많이 필요합니다. 공분산 행렬의 역행렬을 못 구하면 합계 열처럼 다른 열로 정확히 계산되는 변수가 있는지 확인하세요.
오경보율 α 는 얼마로 두나요?
기본값 0.27% 는 단일 변수 3σ 관리도의 오경보율과 같습니다. 점이 많거나 오경보 비용이 크면 더 작게, 놓쳤을 때 손실이 크면 더 크게 둡니다. 이 도구는 α 에서 우연히 한계를 넘을 것으로 기대되는 개수를 함께 보여 줍니다.
다른 품질 도구와는 어떻게 함께 쓰나요?
T² 에서 원인 변수를 찾으면 그 변수의 SPC 관리도(Control Chart)로 시간 추이를 보고, 변동이 부분군 안·사이·시간 중 어디서 오는지는 산포 원인 분리(Multi-Vari), 조치 전후 평균 차이는 가설검정으로 확인하세요.

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