회귀·상관 분석 계산기 (Regression · Correlation)
엑셀에서 X·Y 두 열을 붙여넣으면 회귀식, 결정계수 R², 상관계수 r, 기울기 p 값과 신뢰구간, 잔차·표준화 잔차를 바로 계산합니다. 특정 조건의 예측값과 예측구간, Y 목표값에 필요한 X 역산도 함께 냅니다. 여러 요인을 동시에 보려면 요인 실험 설계, 곡선 관계는 반응표면 설계를 함께 쓰세요.
계산 근거
최소제곱 단순 선형회귀: b₁ = Sxy ÷ Sxx, b₀ = ȳ − b₁x̄, R² = 1 − SSE ÷ SST, r = Sxy ÷ √(Sxx·Syy). 기울기 검정은 자유도 n−2 의 t 분포 양측 p 값, 표준화 잔차는 eᵢ ÷ (S√(1−hᵢ)), 예측구간은 ŷ ± t·S·√(1 + 1/n + (x₀−x̄)²/Sxx) 입니다(Montgomery·Runger, Applied Statistics and Probability for Engineers 11장).
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자주 묻는 질문 (FAQ)
회귀분석과 상관분석은 무엇이 다른가요?
상관분석은 두 변수가 함께 움직이는 정도를 -1~1 사이 숫자(상관계수 r) 하나로 나타냅니다. 회귀분석은 한 걸음 더 나아가
Y = b₀ + b₁ × X 식을 구해 X 를 바꾸면 Y 가 얼마나 바뀌는지(기울기)와 특정 X 에서 Y 가 얼마일지(예측)를 알려 줍니다. 이 계산기는 두 가지를 한 번에 냅니다.R²(결정계수)는 어떻게 읽나요?
Y 의 전체 변동 중 X 로 설명되는 비율입니다. R² 80%면 Y 가 흔들리는 이유의 80%를 X 로 설명하고 나머지 20%는 다른 요인이나 측정 산포라는 뜻입니다. 단순 선형회귀에서는 R² = r² 입니다. 얼마면 충분한지는 용도에 따라 다르므로 이 도구는 목표 R² 를 직접 넣게 했습니다. 공정 조건을 정하는 데 쓰려면 높게, 경향만 확인하려면 낮게 잡습니다.
p 값은 무엇을 뜻하나요?
실제로는 X 와 Y 가 아무 관계가 없는데(기울기 0) 우연히 이만큼의 기울기가 나올 확률입니다. p 값이 유의수준 α(보통 0.05)보다 작으면 "직선 관계가 있다"고 판단합니다. 데이터가 많으면 아주 약한 관계도 p 값이 작아지므로 R² 와 기울기 크기를 함께 보세요. 두 집단 평균 비교는 가설검정 도구를 쓰세요.
잔차와 표준화 잔차는 왜 보나요?
잔차는 실제 Y 와 회귀식이 예측한 Y 의 차이입니다. 표준화 잔차는 잔차를 표준오차로 나눈 값으로, 정규분포라면 ±2 를 넘는 점은 약 5%만 나옵니다. 이 도구는 ±2 를 넘는 점을 빨갛게 표시합니다. 잔차 그림이 휘어 있으면 곡선 관계이므로 반응표면 설계(RSM)로 2차 모델을, 깔때기 모양이면 등분산 가정이 깨진 것이므로 변환을 검토합니다.
신뢰구간과 예측구간은 어떻게 다른가요?
신뢰구간은 "X 가 이 값일 때 Y 의 평균"이 들어갈 범위, 예측구간은 "X 가 이 값일 때 만든 제품 하나의 Y"가 들어갈 범위입니다. 개별 제품의 산포까지 포함하므로 예측구간이 항상 더 넓습니다. 규격 대비 여유를 볼 때는 예측구간을 쓰세요. 데이터 범위 밖의 X 로 예측하는 외삽은 직선 관계가 유지된다는 보장이 없어 결과에 "외삽"을 표시합니다.
Spearman 순위 상관은 왜 함께 보여 주나요?
Spearman 상관은 값 대신 순위로 계산해 이상치와 곡선 관계에 덜 민감합니다. 피어슨 r 과 Spearman 값이 0.1 이상 차이 나면 이상치 몇 개가 결과를 끌고 있거나 관계가 직선이 아닐 수 있다는 신호이므로 다음 할 일에 안내가 나옵니다.
상관이 높으면 X 를 바꿔서 Y 를 관리해도 되나요?
상관은 인과가 아닙니다. 두 변수가 제3의 요인(계절·원자재 로트·설비)에 함께 끌려가도 상관이 높게 나옵니다. 공정 조건으로 쓰기 전에 X 를 의도적으로 바꾼 확인 실험을 하세요. 여러 요인을 동시에 봐야 하면 요인 실험 설계(DOE), 어떤 요인이 큰지 먼저 좁히려면 다변량 분석(Multi-Vari)을 씁니다. 측정기 자체의 직선성은 게이지 선형성 도구에서 따로 봅니다.
이 도구의 한계는 무엇인가요?
X 가 하나인 단순 선형회귀만 다룹니다. X 가 여러 개인 다중회귀, 곡선 회귀, 시간 순서에 따른 자기상관 검정은 하지 않습니다. 오차가 독립·정규·등분산이라는 가정에 기대므로 잔차 그림으로 가정을 확인한 뒤 결과를 쓰세요. 계산 결과는 Anscombe(1973) 공개 예제와 대조했습니다.
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